Теорема о системе неявных функций

Пусть $F_k(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = F_k(x_1, \ldots, x_m, y_1, \ldots, y_n)$, $k = 1, \ldots, n$ непрерывно дифференцируемы в $O(\mathbf{x}^0, \mathbf{y}^0)$, причем $F_k(\mathbf{x}^0, \mathbf{y}^0) = 0$. Если $J(\mathbf{x}^0, \mathbf{y}^0) = \dfrac{\partial(F_1, \ldots, F_n)}{\partial(y_1, \ldots, y_n)} \neq 0$, то существуют области: $$K_{\mathbf{x}} = \{\mathbf{x} \mathpunct{:} |x_i - x_i^0| \leq \delta, i = 1, \ldots, m\},$$ $$K_{\mathbf{y}} = \{\mathbf{y} \mathpunct{:} |y_j - y_j^0| \leq \varepsilon, j = 1, \ldots, n\},$$ что система уравнений $F_k(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = 0$ имеет единственное решение, т.е. существуют непрерывные функции $f_1(\mathbf{x}), \ldots, f_n(\mathbf{x})$, определенные на $K_{\mathbf{x}}$, такие что: $$F_k(x_1, \ldots, x_m, f_1(x_1, \ldots, x_m), \ldots, f_n(x_1, \ldots, x_m)) = 0, \forall \mathbf{x} \in K_{\mathbf{x}}, k = 1, \ldots, n.$$

**База индукции:** $n = 1$. Доказано в теореме о существовании неявной функции **Предположение индукции:** Теорема верна для $n - 1$ **Шаг индукции:** Поскольку $J(\mathbf{x}^0, \mathbf{y}^0) \neq 0$, в силу непрерывной дифференцируемости $F_k$, существует окрестность $O(\mathbf{x}^0, \mathbf{y}^0)$, такая что $J(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \neq 0, \forall (\mathbf{x}, \mathbf{y}) \in O(\mathbf{x}^0, \mathbf{y}^0)$ Б.О.О., можем считать, что минор порядка $n-1$ не равен нулю: $$J_{n-1}(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \dfrac{\partial(F_1, \ldots, F_{n-1})}{\partial(y_1, \ldots, y_{n-1})}(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \neq 0.$$ Для первых $n - 1$ уравнений $F_k(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = 0, k = 1, \ldots, n-1$ справедливо предположение индукции. Это значит, что существуют функции $f_1(x_1, \ldots, x_m, y_n), \ldots, f_{n-1}(x_1, \ldots, x_m, y_n)$ такие, что: $$F_k(x_1, \ldots, x_m, f_1(\mathbf{x}, y_n), \ldots, f_{n-1}(\mathbf{x}, y_n), y_n) = 0,$$ $$\forall \mathbf{x} \in K_{\mathbf{x}}, y_n \in [y_n^0 - \varepsilon, y_n^0 + \varepsilon], k = 1, \ldots, n- 1.$$ Осталось показать, что последнее уравнение $$F(\mathbf{x}, y_n) = F_n(x_1, \ldots, x_m, f_1(\mathbf{x}, y_n), \ldots, f_{n-1}(\mathbf{x}, y_n), y_n) = 0$$ можно разрешить относительно $y_n$. По теореме о существовании неявной функции, заданной одним уравнением, это можно сделать, если $F'_{y_n}(\mathbf{x}^0, \mathbf{y}^0) \neq 0$. По теореме о дифференцируемости сложной функции, продифференцируем тождества $F_k = 0$ по $y_n$: $$(F_{k})_{y_{n}}^{'} = \dfrac{\partial F_k}{\partial y_1} \dfrac{\partial f_1}{\partial y_n} + \ldots + \dfrac{\partial F_k}{\partial y_{n-1}} \dfrac{\partial f_{n-1}}{\partial y_n} + \dfrac{\partial F_k}{\partial y_n} = 0, \quad k = 1, \ldots, n- 1.$$ Для функции $F(\mathbf{x}, y_n)$ производная по $y_n$ равна: $$F'_{y_n} = \dfrac{\partial F_n}{\partial y_1} \dfrac{\partial f_1}{\partial y_n} + \ldots + \dfrac{\partial F_n}{\partial y_{n-1}} \dfrac{\partial f_{n-1}}{\partial y_n} + \dfrac{\partial F_n}{\partial y_n}.$$ Рассмотрим определитель Якоби $J$: $$J = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial F_1}{\partial y_1} & \ldots & \dfrac{\partial F_1}{\partial y_{n-1}} & \dfrac{\partial F_1}{\partial y_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \dfrac{\partial F_{n-1}}{\partial y_1} & \ldots & \dfrac{\partial F_{n-1}}{\partial y_{n-1}} & \dfrac{\partial F_{n-1}}{\partial y_n} \\ \dfrac{\partial F_n}{\partial y_1} & \ldots & \dfrac{\partial F_n}{\partial y_{n-1}} & \dfrac{\partial F_n}{\partial y_n} \end{vmatrix}$$ Прибавим к последнему столбцу $C_n$ линейную комбинацию предыдущих столбцов $C_j$ с коэффициентами $\dfrac{\partial f_j}{\partial y_n}$. Поскольку для $k = 1, \ldots, n-1$ выполняется: $$\dfrac{\partial F_k}{\partial y_n} + \sum_{j=1}^{n-1} \dfrac{\partial F_k}{\partial y_j} \dfrac{\partial f_j}{\partial y_n} = 0,$$ а для $n$-й строки мы получаем $F'_{y_n}$, определитель преобразуется к виду: $$J = \begin{vmatrix} \dfrac{\partial F_1}{\partial y_1} & \ldots & \dfrac{\partial F_1}{\partial y_{n-1}} & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & 0 \\ \dfrac{\partial F_{n-1}}{\partial y_1} & \ldots & \dfrac{\partial F_{n-1}}{\partial y_{n-1}} & 0 \\ \dfrac{\partial F_n}{\partial y_1} & \ldots & \dfrac{\partial F_n}{\partial y_{n-1}} & F'_{y_n} \end{vmatrix}$$ Разлагая по последнему столбцу, получаем $J = J_{n-1} \cdot F'_{y_n}$. Так как $J \neq 0$ (по условию теоремы) и $J_{n-1} \neq 0$ (по Б.О.О.), то $F'_{y_n} \neq 0$. Таким образом, $F'_{y_n} \neq 0$, и последнее уравнение $F(\mathbf{x}, y_n) = 0$ разрешимо относительно $y_n$. $\square$